Escritos Joan Martí Jovell

La geometria és l’estudi de les formes i de les seves mides, però en la geometria simplèctica, en lloc de mesurar distàncies amb una cinta mètrica, el que es mesura és l’àrea. Pot semblar una distinció abstracta, però les conseqüències d’aquest canvi de perspectiva arriben fins a l’espai exterior. Imagina un coet que traça un determinat camí: si la sonda es desplaça lleugerament des del punt de sortida, la figura geomètrica que apareix és un triangle. Doncs bé, a mesura que la trajectòria avança, l’àrea d’aquest triangle es conserva, perquè el moviment segueix les equacions de Hamilton de la física. Aquestes equacions mesuren, simplificant molt, quelcom com la velocitat d’una partícula, i regeixen el comportament del món físic. Totes les trajectòries estudiades des del principi dels temps amb equacions de Hamilton, en realitat, segueixen la geometria simplèctica. Dit d’una altra manera: la geometria simplèctica és el llenguatge de la física.

Un exemple d’aplicació que il·lustra bé la potència d’aquest llenguatge és el cas de la sonda japonesa Hiten i la intervenció del matemàtic Edward Belbruno, un científic singular que treballa a la intersecció de les matemàtiques, la geometria simplèctica i l’art. La sonda s’havia quedat sense combustible per entrar en òrbita lunar seguint una trajectòria convencional. Belbruno va aplicar la teoria del caos per a vols espacials i va aconseguir fer saltar d’òrbita la nau, salvant la missió. Des d’aleshores, aquella trajectòria porta el seu nom. No és un cas aïllat: la NASA i l’ESA apliquen avui fórmules basades en geometria simplèctica per calcular la trajectòria probable dels objectes quan tornen a entrar a l’atmosfera terrestre. El control de la brossa espacial —un problema creixent en l’era dels llançaments massius de satèl·lits— es gestiona precisament a través d’aquestes eines matemàtiques.

La recerca en geometria simplèctica, però, no s’atura en les aplicacions espacials. Un dels fronts més emocionants té a veure amb les equacions de Navier-Stokes, que descriuen el moviment de líquids i gasos. Dos segles després que es plantegessin per primer cop, els matemàtics encara no saben demostrar si tenen solució a llarg termini. Això és el que es coneix com un dels reptes del mil·lenni, un conjunt de problemes extremadament complexos publicats per l’Institut Clay de Matemàtiques l’any 2000. Si les equacions no tinguessin solució estable, podria produir-se una «singularitat»: un tsunami matemàtic de cop, sense avís previ. El febrer del 2020, en un tren de tornada des de Madrid, la lectura d’un article del matemàtic australià Terence Tao sobre aquest problema va encendre la bombeta: potser les eines geomètriques que tenien a l’abast els permetrien abordar la qüestió d’una manera nova.

L’estratègia va consistir a associar el moviment dels fluids a una mena d’ordinador abstracte, una màquina d’aigua que pren com a dada d’entrada un punt de l’espai i ofereix com a resultat el punt fins al qual s’ha desplaçat el fluid. Per construir-la, l’equip —integrat també pels matemàtics Daniel Peralta, Robert Cardona i Francisco Presas— va utilitzar la geometria de contacte i es va basar en una màquina de Turing. El resultat va ser sorprenent: van demostrar que hi ha trajectòries indecidibles, és a dir, trajectòries per a les quals cap ordinador no pot determinar si un objecte arribarà o no a una zona concreta en un temps finit. És una manifestació física del problema de la parada que Alan Turing va demostrar que era indecidible: hi ha preguntes que cap algorisme no pot respondre. Els fluids, en definitiva, són tan complexos que ni tan sols un ordinador pot decidir on aniran a parar. La conclusió es va publicar a la revista Proceedings of the National Academy of Sciences i va tenir un impacte considerable.

Tot i que aquesta recerca no va resoldre directament el repte plantejat per Tao —ni va guanyar el milió de dòlars associat—, va obrir una porta inesperada. De la idea de l’ordinador d’aigua va sorgir un nou model de computació anomenat màquina híbrida o Topological Keener Field Theory (TKFT). Desenvolupat conjuntament amb Ángel González-Prieto i Daniel Peralta-Salas, es pot imaginar com un sistema de canonades per les quals circula l’aigua, amb una geometria extraordinàriament complexa. A diferència d’un ordinador d’aigua real —que no es pot construir perquè les condicions que caldria no són estables—, la màquina híbrida és una versió molt més robusta que utilitza la idea de velocitats de trajectòries no necessàriament de fluids. L’equip està convençut que aquest nou model de computació superarà tots els tipus d’ordinadors actuals, inclosos els quàntics. Demostrar-ho és molt difícil, però el camí que s’ha obert és extraordinàriament prometedor.

Hi ha una paradoxa al cor de tot plegat: comprendre els límits del càlcul —saber on els ordinadors es queden sense cobertura, per dir-ho en termes quotidians— és precisament el que dona més força als éssers humans. Que certes trajectòries siguin imprevisibles no és una derrota: és la constatació que les coses canvien, que una petita modificació en el passat pot tenir efectes enormes en el futur. La teoria del caos estudia exactament això, i la indecidibilitat hi afegeix una capa addicional, perquè no es tracta només que les coses siguin difícils de calcular, sinó que directament no es poden calcular. En un món on cada vegada s’atribueix més poder als algoritmes, recordar que hi ha preguntes que cap màquina no pot respondre és, potser, la lliçó matemàtica més important del nostre temps.

Joan Martí Jovell